Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác . các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = \(\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}+\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}+\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác . các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =\(\sqrt{\dfrac{AM}{MD}}+\sqrt{\dfrac{BM}{ME}}+\sqrt{\dfrac{CM}{MF}}\)
cho tam giác ABC, một điểm M tùy ý trong tam giác. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, Ac, AB tại D,E, F. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}\) là hằng số
Cho tam giác ABC, gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC. CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{\frac{OA}{OD}}\)+\(\sqrt{\frac{OB}{OE}}\)+\(\sqrt{\frac{OC}{OF}}\)
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC, gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC. CA, AB tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{\frac{OA}{OD}}\)+\(\sqrt{\frac{OB}{OE}}\)+\(\sqrt{\frac{OC}{OF}}\)
Cho tam giác ABC, M ở trong tam giác các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt cách cạnh BC,AC,AB tại D,E,F. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác DEF đạt max
cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt thuộc AB, AC, BC. chứng minh rằng: a) diện tích ADE trên diện tích ABC bằng AD*AE trên AB*AC . b) Trong 3 tam giác ADE, BDF, CEF tồn tại 1 tam giác có diện tích không vượt quá 1/4 diện tích ABC. Khi nào cả 3 tam giác đó cùng có diện tích = 1/4 diện tích ABC
Đúng 0
Bình luận (0)
19 tháng 12 2021 lúc 9:08
Cho tam giác ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D là giao của AM và BC, E là giao của BM và CE, F là giao của CM và AB. Đường thẳng qua điểm M song song với BC cắt DE và DF lần lượt tại K và I. Chứng minh: MI = MK
Cho tam giác ABC với điểm M ở bên trong tam giác. Gọi I,J,K theo thứ tự là giao điểm của các tia AM, BM, CM với các cạnh BC, CA, AB. Đường thẳng qua M và song song với BC cắt IK, IJ tại các điểm tương ứng E, F. Chứng minh rằng ME=MF.
JK trong tim tui òi
Cho tam giác ABC gọi điểm D nằm trên cạnh BC sao cho BD=2DC, E là trung điểm của AD. Một đường thẳng bất kì qua E và cắt các cạnh AB AC , lần lượt tại M N. Tính tỉ số \(\dfrac{AB}{AM}+2\dfrac{AC}{AN}\)